geogebra基础入门20： 避免利用斜率构造残缺轨迹的三个妙招（2016全国高考理科20题）

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2016年全国高考理科1卷的第20题如下：

这里暂时只研究第一问。

群里有老师提出这样的问题：

即利用斜率k为滑条，范围为（-100,100），

再利用轨迹指令：轨迹(E, k)，得到的是轨迹是不完整的。（真正的答案是椭圆（y不等于0））

为什么得到的轨迹是如此残缺的呢？

如何改进？

有老师问，能不能把斜率k的范围继续扩大？例如扩大到1000？验证如下：

还是不完整的。

原因在于：斜率的范围应该是负无穷到正无穷。

但是在ggb中，斜率k的属性，可能无法输入负无穷到正无穷。

如何改进呢？

妙招一：

宗师孙生富老师提出，为了避免斜率k作为滑条参数导致的轨迹残缺，就不用斜率来控制直线，而是用一个圆上的点H来控制直线CD，即先以点B为圆心，半径为1构造一个圆c，然后在圆c任意取一点H，再作直线BH，交圆g于C，D两点，这样最后利用轨迹指令：轨迹(E, H)，

则这样得到的轨迹是完整的一个椭圆。

静态图如下：

当然解题的时候最后还得去掉不符合题意的两个点（y=0时）

妙招二：

朱亮老师提出，也可以不构造辅助圆，而是直接在已知的圆g上直接取点C，然后再做直线BC，往下作得点E的方法类似，这样利用轨迹指令：

轨迹(E, C)，

得到的效果也是一个完整的椭圆。

妙招三：

孙老师进一步提出，利用直线的指令，也可以不用辅助圆。

即：先新建一个角度α的滑条，范围为（0°,360°）；

然后利用指令：直线(B，(1；α))，构造直线CD；

再利用轨迹指令：轨迹(E,α)，

但是笔者在验证的时候，

也是仅仅产生半个椭圆而已。

根本原因是，(1；α)这个极坐标表示的点，是以坐标原点O为圆心的点，这样不符合题意！

如何改进呢？这时指令改为：

直线(B，B+(1；角度))，角度用滑动条（0，2pi）

说明：B+(1；角度)，这个点就是以B为圆心，半径是1上的动点。

效果就可以啦！

笔者把孙老师的代数区也一起显示出来，基本上都是利用指令，非常方便快捷，同学们可以好好体会！

反思1：孙老师说，ggb很神奇，但是我们自己也要开动脑筋，总是能找到解决问题的方法，的确如此！

反思2：直线指令有三个：

• Line. . 直线

• Line( ( <Point>,<Point>) ) ；直线( (< <点 点  1>,<点 点  2>) ) 。

• 创建一条过点 A 和 B 的直线。

• Line( (l <Point>,<Parallel  Line>) ) ；直线( (< < 点 >,< 平行线> >) ) 。

• 创建过给定点平行于给定直线的直线。

• Line( (n <Point>,<Direction  Vector>) ) ；直线( (< < 点 >,< 方向向量> >) ) 。

• 创建一条给定点与向量平行的直线。

• 注：参见 “直线”和 “平行线”工具。

而方向向量是高中出现的知识，指令汇编：

反思3：

注意：孙老师的指令中，(1；角度)是极坐标的写法！表示的是半径为1的圆上的任意一点。

改进的指令：直线(B，B+(1；角度))，

也是利用的是直线的第一个指令，两点确定一条直线。

不是用方向向量的方法。

这里解释一下。

……

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